Zad 2 str 130 Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników a) -1/2x-1/4y=1 - 5x+y=3 Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań
Zadanie blockedSprawdz, czy równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, czy nie ma rozwiązań. Równania niemające rozwiązań podkreśl Sprawdz, czy równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, czy nie ma rozwiązań. Równania niemające rozwiązań podkreśl a)3x-1=2x+(x-4) b)-x+2+(x+5)=4x-4(x+3) c)7-5(x+2)+3(x+3)=-2x+6 d)5(2x-3)-7x+15=3(x-8)+24 e)4x-22=14-(3x+2)-7(5-x) szkolnaZadaniaMatematyka Odpowiedzi (1) maalinkowa a)3x-1=2x+(x-4)3x-1=2x+x-40=-3b)-x+2+(x+5)=4x-4(x+3) -x+2+x+5=4x-4x-120=19c)7-5(x+2)+3(x+3)=-2x+6 7-5x-10+3x+9=-2x+60=0d)5(2x-3)-7x+15=3(x-8)+24 10x-15-7x+15=3x-24+240=0e)4x-22=14-(3x+2)-7(5-x)4x-22=14-3x-2-35+7x0=-1;) :) :) o 19:44
Okręgi są styczne. Zatem układ równań ma jedno rozwiązanie. Przykład 2 Ustalimy, dla jakich wartości parametru , gdzie układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązanie: Dla każdego równania obliczamy wartość wyrażenia . Zatem dla pierwszego równania z układu równań mamy:. Ê Ã Ã Ã ø Ã
Definicja 1: Układem dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi x i y nazywamy koniunkcję takich równań i oznaczamy:{a1x + b1y=c1{a2x+b2y=c2Gdzie a12+b12>0 i a22+b22>0Definicja 2: Rozwiązaniem układu dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb (x,y), która spełnia jednocześnie oba równania układu. Rozwiązać układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi to wyznaczyć wszystkie jego rozwiązania, albo stwierdzić , że zbiór rozwiązań jest mamy układ dwóch równań, które mają postać wzoru funkcji liniowej, to rozwiązać go znaczy po prostu znalezienie punktu wspólnego wykresów obu funkcji, w przypadku równania pierwszego stopnia takie rozwiązanie może być jedno, czyli wykresy przecinają się w wspólnym punkcie, nieskończenie wiele, czyli wykresy nachodzą na siebie, lub mogą nie mieć rozwiązania, czyli wykresy nigdy się nie spotykają. Na powyższym wykresie dwie proste przecinają się w jednym punkcie, współrzędne tego punktu (x, y) są jedynym rozwiązaniem układu równań. Jest to układ oznaczonyNa powyższym wykresie proste się pokrywają, czyli każda para liczb spełniające jedno z równań, spełnia też drugie, rozwiązań takiego układu jest nieskończenie wiele, jest to układ nieoznaczony. Na powyższym wykresie proste są równoległe, nigdy się nie spotkają, więc taki układ nie będzie miał rozwiązania, taki układ jest 1: Jeżeli z jednego równania układu wyznaczamy jedną niewiadomą i podstawimy otrzymane wyrażenie do drugiego równania zamiast tej niewiadomej, to układ równań złożony z pierwszego równania i tak przekształconego drugiego równania jest równoważny 1 Mamy układ równań , teraz staramy się obliczyć x lub y, w tym przypadku najłatwiej będzie obliczyć y., teraz nasz obliczony y podstawiamy do pierwszego równania. , teraz możemy obliczyć nasz x, pozostaje nam obliczyć y, w ten sposób obliczyliśmy x i 2: Jeśli obie strony jednego z równań pomnożymy przez dowolną liczbę różną od zera, a następnie otrzymane równanie drugie równanie dodamy stronami, i tak otrzymanym równaniem zastąpimy dowolne z równań układu, to otrzymamy układ równań równoważny 2Mamy układ równań:, teraz pomnóżmy równanie 2 razy 2, otrzymamy wtedy:, teraz dodajmy oba równania stronami:, możemy już bez problemu obliczyć x, teraz obliczmy y:, to są rozwiązania naszego układu równańKolejnym sposobem może być rozwiązanie układu równań za pomocą wyznacznika macierzy:, taki układ równań możemy zapisać w prostokątnej tablicy zwanej macierzą., jednak w praktyce lepiej posługiwać się macierzą kwadratową (na studiach ogarniesz czemu J), w tym przypadku będzie to wyglądało tak:, , , z macierzy kwadratowej można obliczyć jej 3: Wyznacznikiem macierzy nazywamy liczbę ad-cb, którą oznaczamy(Pamiętaj że symbol macierzy różni się od symbolu wyznacznika macierzy.) Przykład 3 Oblicz wyznacznik macierzy Korzystając ze wzoru z definicji mamy:5*3-(-5*2)=15-(-10)=15+10=25Wróćmy do naszego układu równań: , a12+b12>0 i a22+b22>0 Wprowadźmy teraz pewne oznaczenia:W= Wx= Wy=Twierdzenie 3: Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi , a12+b12>0 i a22+b22>0 Ma tylko jedno rozwiązanie, jeśli W≠0, jest to układ Cramera Ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli W=Wx=Wy=0Nie ma rozwiązań, jeśli W=0 i (Wx≠0 lub Wy≠0)Przykład 4 Rozwiąż układ równań:Zaczynamy od obliczenia wyznaczników:W= Wx= Wy= W= 11*(-34) –((-22)*32)=-374+704=330Wx=68*(-34)-(8*32)=-2312-256=-2568Wy=11*8-((-22)*68)=88+1496=1584x= y=Zadania do zrobienia1. Rozwiąż układy równań metodą podstawiania Odp. 2. Rozwiąż układy równań metodą przeciwnych współczynników Odp. układ sprzeczny3. Rozwiąż układy równań metodą graficzną Odp. 4. Rozwiąż układy równań, stosując wyznaczniki a) b) Odp. a) b)5. Dopisz brakujące równanie układu tak, aby powstały układ równań: a) był sprzecznyb) był nieoznaczonyc) był oznaczony
Układ równań nieoznaczony. Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań. b. Układ równań oznaczony. Układ ma jedno rozwiązanie. c.-4x-8y+7 ≠ -4x-y+9 . Układ równań sprzeczny. Układ nie ma rozwiązań.
RozwiązanieZatem nasz układ równań nie jest układem Cramera (nie ma jednego rozwiązania) i do jego rozwiązania nie można zastosować wzorów są 2 przypadki, albo układ jest sprzeczny (nie ma rozwiązań), albo ma nieskończenie wiele że, gdy pomnożymy drugie równanie przez -2, to otrzymamy następujący układ równań (równoważny wyjściowemu):\[\left\{\begin{array}{c}2x-6y=4\\2x-6y=-2\end{array}\right.\]Układ ten jest sprzeczny, ponieważ gdy odejmiemy równania stronami, to otrzymamy sprzeczność 0= nasz wyjściowy układ równań też jest sprzeczny (nie posiada rozwiązań). UWAGA Układ nie jest układem Cramera, ponieważ macierz główna układu (ozn. A) jest osobliwa (ma wyznacznik równy 0).
Materiał ze strony http://matematyka.pisz.pl/strona/2965.htmlMatura podstawowa z matematyki 2011. Układ równań {4x+2y=10, 6x+ay=15 ma nieskończenie wiele roz
kiedy równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań ? Koli91: kiedy równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań ? 6 lis 14:56 Basia: gdy da się sprowadzić do tożsamości niezależnej od x np. 2x−4 = 2(x−2) 2x−4 = 2x−4 2x−2x=−4+4 0=0 prawda dla każdego x 6 lis 14:59 czita: x2=−2 x2−3x=o 14 lis 17:45
4t8F6. układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań jeśli
